-指示函数 - 版本历史

2025年3月15日 (六) 09:06 荆哲

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	[[分类:数学]]		[[分类:Mathematics]]

2025年3月15日 (六) 09:04 荆哲

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	==另见==		==另见==
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			[[分类:数学]]

2025年3月15日 (六) 08:59 荆哲

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	==用途==		==用途==
	对于两个“素数 ”''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub>（无论是否有限），[https://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html ''p'' 进距离] \|<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)\|<sub>''p''</sub> 描述着 ''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub> 的相似程度。若对某个正整数 ''n'' 有 \|<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)\|<sub>''p''</sub> < ''p''<sup>-''n''</sup>，则我们可以得到，无论是负整数 -1 至 -''n'' 还是正整数 1 至 ''n''（想想为什么？），在 ''q''<sub>1</sub> 进数系和 ''q''<sub>2</sub> 进数系的“表现”（指该整数是否平方数）都是一样的。		对于两个“素数 ”''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub>（无论是否有限），[https://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html ''p'' 进距离] \|<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)\|<sub>''p''</sub> 描述着 ''q''<sub>1</sub> 和 ''q''<sub>2</sub> 的相似程度。若对某个正整数 ''n'' 有 \|<sub>''p''</sub>(''q''<sub>1</sub>)-<sub>''p''</sub>(''q''<sub>2</sub>)\|<sub>''p''</sub> < ''p''<sup>-''n''</sup>，则我们可以得到，无论是负整数 -1 至 -''n'' 还是正整数 1 至 ''n''（想想为什么？），在 ''q''<sub>1</sub> 进数系和 ''q''<sub>2</sub> 进数系的“表现”（指该整数是否平方数）都是一样的。

			==另见==
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荆哲：创建页面，内容为“'''-指示函数''' （英语：-indicator，希顶语：- ）是一个将[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html 素数]映到[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html prime numbers]到 [https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html ''p'' 进数]的数学函数，指示着两个素数在[https://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html 二次剩余]意义下有多么“相似”。 =…”

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创建页面，内容为“'''-指示函数''' （英语：-indicator，希顶语：- ）是一个将[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html 素数]映到[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html prime numbers]到 [https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html ''p'' 进数]的数学函数，指示着两个素数在[https://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html 二次剩余]意义下有多么“相似”。 =…”

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'''-指示函数''' （英语：-indicator，[[希顶语]]：- ）是一个将[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html 素数]映到[https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html prime numbers]到 [https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html ''p'' 进数]的数学函数，指示着两个素数在[https://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html 二次剩余]意义下有多么“相似”。

==定义==
对任意奇素数 ''p''，定义 -指示函数 ''p'' : {''q'':''q'' is a prime}∪{∞}→'''Q'''''p''，其中 '''Q'''''p''代表 ''p'' 进数域：

''p''(''q'') := ∑''n''∈'''N'''+ Kronecker(-''n''|''q'') ''p''''n''

其中 Kronecker 代表 [https://mathworld.wolfram.com/KroneckerSymbol.html Kronecker 符号]；对于 ''q''=∞，由于所谓“无穷素数”上的局部域（即 '''Q'''∞）代表实数域 '''R'''，而所有负数在 '''R''' 上都没有平方根，故我们定义：

''p''(∞) := ∑''n''∈'''N'''+ -''p''''n'' = ''p''/(''p''-1)

显然，对任意素数 ''q''（包括“无穷素数”），上述无穷级数的项的系数是周期性的，故 -指示函数的值一定是个[https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html 有理数]。进一步地，当 ''q'' 是有限奇素数时，''p''(''q'') 乘以 (''p''''q''-1) 是整数，而 ''p''(2) 乘以 (''p''8-1) 也是整数。

==例子==
以下是 ''p''=3 情形的一些例子：
* 3(2)=-12/41
* 3(3)=-3/13
* 3(5)=-24/121
* 3(7)=-453/1093
* 3(11)=-24249/88573
* ...

==用途==
对于两个“素数 ”''q''1 和 ''q''2（无论是否有限），[https://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html ''p'' 进距离] |''p''(''q''1)-''p''(''q''2)|''p'' 描述着 ''q''1 和 ''q''2 的相似程度。若对某个正整数 ''n'' 有 |''p''(''q''1)-''p''(''q''2)|''p'' < ''p''-''n''，则我们可以得到，无论是负整数 -1 至 -''n'' 还是正整数 1 至 ''n''（想想为什么？），在 ''q''1 进数系和 ''q''2 进数系的“表现”（指该整数是否平方数）都是一样的。